Potens-funktioner
Definition:
En funktion, der har en regneforskrift af formen: y = b·xa ,
hvor b>0 og x>0, kaldes en potensfunktion.
a kan være et hvilket som helst tal forskelligt fra 0.
Hvis a<0 er funktionen aftagende.
Eksempel:
Hvis man lader en mønt falde ned fra et højhus, kan faldet med
god tilnærmelse beskrives ved modellen y = 5·x2 ,
hvor x er antal sekunder efter, der er blevet givet slip på
mønten og y er antal meter, som mønten er faldet.
I dette eksempel er b=5 og a=2
b er y-værdien når x er 1
Sådan findes en regneforskrift
Hvis man kender 2 funktionsværdier y1 og y1 og y2 svarende til x1 og x2, kan man finde en regneforskrift.
a kan beregnes ved formlen: a =Log y2 - Log y1
Log x2 - Log x1 | |
Herefter kan b findes ved hjælp af formlen: b = y1/x1a
der også kan skrives: b = y1 · x1-a
Eksempel:
a = Log(253) - Log(57)
Log(11) - Log(3) | = 1,14704… = 1,1470 | |
b = 57/31,14704… = 16,1657… = 16,166
Regneforskriften bliver således: y = 16,166· x1,470
Fx fås for x=25: y = 16,1657… · 251,4704… = 648,779… = 648,78
Her har vi ikke brugt de afrundede værdier af a og b, men de mere nøjagtige,
som er gemt i lommeregner eller i kalkulator.
Sammenhæng mellem x og y ved potens-vækst
Lad os betragte potens-funktionen: y = 7·x³
og lad os betragte en x-værdi og den tilsvarende y-værdi: 7·x³.
Vi vil nu fremskrive x med 20%, dvs med fremskrivningsfaktoren 1,20
og vise, at så fremskrives y med fremskrivningsfaktoren 1,20³.
Når x ganges med fremskrivningsfaktoren 1,20 bliver den nye x-værdi (x·1,20)
og den nye y-værdi bliver 7·(x·1,20)³ = 7·x³ · 1,20³ = y · 1,20³
Altså: y skal ganges med 1,20³,
dvs fremskrives med fremskrivningsfaktoren 1,20³ , hvilket skulle vises.
1,20³ = 1,728 så y fremskrives med 72,8% når x fremskrives med 20%.
Generelt gælder om potens-funktionen y=b·xa :
Når x fremskrives med faktoren (1+r) så fremskrives y med faktoren (1+r)a
Dvs, om en potens-funktion gælder:
Når x ændres med en bestemt procent,
så vil y også ændres med en bestemt procent,
og ud fra den %-vise ændring af x kan man beregne den %-vise ændring af y.
Det modsatte gælder også:
Enhver funktion, der har ovenstående egenskab, er en potens-funktion.
Eksempel:
y=5000x-0,7
En %-vis ændring af x med 30% til (x ·1,30) giver
en ny y-værdi på 5000·(x·1,30)-0,7 = 5000·x-0,7 · 1,30-0,7
Altså y ændres med faktoren 1,30-0,7 = 0,833... = 0,83
svarende til en negativ %-vis ændring på -17%, nemlig 0,83 - 1 = -0,17. = -17%. (Det er en aftagende funktion.)
Opgaver
|